\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)sinx-\left(m+2\right)cosx+4m-3\ge0\) ;\(\forall x\)

\(\Leftrightarrow m\ge\dfrac{sinx+2cosx+3}{2sinx-cosx+4}=P\)

\(\Leftrightarrow m\ge P_{max}\)

Ta có: \(P=\dfrac{sinx+2cosx+3}{2sinx-cosx+4}\Leftrightarrow\left(2P-1\right)sinx-\left(P+2\right)cosx=3-4P\)

Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất:

\(\left(2P-1\right)^2+\left(P+2\right)^2\ge\left(3-4P\right)^2\)

\(\Leftrightarrow11P^2-24P+4\le0\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{11}\le P\le2\)

\(\Rightarrow m\ge2\)

ĐKXĐ

\(mx^4+mx^3+\left(m+1\right)x^2+mx+1\)

\(=\left(mx^4+mx^3+mx^2+mx\right)+\left(x^2+1\right)\)

=\(mx\left(x^3+x^2+x+1\right)+\left(x^2+1\right)\)

\(=mx\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)+\left(x^2+1\right)\)

\(=\left(x^2+1\right).\left[mx\left(x+1\right)+1\right]>0\left(\forall x\right)\)

\(=>mx^2+mx+1>0\left(\forall x\right)\)

\(=>PT\hept{\begin{cases}mx^2+mx+1=0\left(zô\right)nghiệm\forall x\\m>0\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}\Delta< 0\\m>0\end{cases}=>\hept{\begin{cases}m^2-4m< 0\\m>0\end{cases}=>\hept{\begin{cases}m\left(m-4\right)< 0\\m>0\end{cases}=>0< m< 4}}}\)

=> m có 3 giá trị là 1,2,3 nha

https://olm.vn/hoi-dap/detail/249896752542.html?pos=586036211459

giúp mk cả câu này

y = \(\dfrac{sin^2x}{cosx\left(sinx-cosx\right)}+\dfrac{1}{4}\)

y = \(\dfrac{sin^2x}{sinx.cosx-cos^2x}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{\dfrac{sin^2x}{cos^2x}}{\dfrac{sinx.cosx}{cos^2x}-1}+\dfrac{1}{4}\)

y = \(\dfrac{tan^2x}{tanx-1}+\dfrac{1}{4}\)

y = \(\dfrac{4tan^2x+tanx-1}{4tanx-4}\). Đặt t =  tanx. Do x ∈ \(\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}\right)\) nên t ∈ (1 ; +\(\infty\))\

Ta đươc hàm số f(t) = \(\dfrac{4t^2+t-1}{4t-4}\)

⇒ ymin = \(\dfrac{17}{4}\) khi t = 2. hay x = arctan(2) + kπ 

Đặt \(t=cosx;t\in\left[-1;1\right]\)

Để hàm số có tập xác định R

\(\Leftrightarrow cosx^2-\left(2+m\right)cosx+2m\ge0;\forall x\)

\(\Leftrightarrow t^2-\left(2+m\right)t+2m\ge0\) với mọi \(t\in\left[-1;1\right]\)

Đặt \(f\left(t\right)=t^2-\left(2+m\right)t+2m\); \(I\left(\dfrac{2+m}{2};f\left(\dfrac{2+m}{2}\right)\right)\)

TH1: \(\dfrac{2+m}{2}< -1\) \(\Leftrightarrow m< -4\)

Để \(f\left(t\right)\ge0;\forall t\in\left[-1;1\right]\) \(\Leftrightarrow\)\(f\left(t\right)_{min}=f\left(-1\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow3+3m\ge0\Leftrightarrow m\ge-1\)(ktm đk)

TH2: \(-1\le\dfrac{m+2}{2}\le1\)\(\Leftrightarrow-4\le m\le0\)

Để \(f\left(t\right)\ge0;\forall t\in\left[-1;1\right]\) \(\Leftrightarrow f\left(t\right)_{min}=f\left(\dfrac{2+m}{2}\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow-m^2+4m-4\ge0\)\(\Leftrightarrow m=2\) (ktm đk)

TH3:\(\dfrac{m+2}{2}>1\) \(\Leftrightarrow m>0\)

Để \(f\left(t\right)\ge0;\forall t\in\left[-1;1\right]\)\(\Leftrightarrow f\left(t\right)_{min}=f\left(1\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow m-1\ge0\Leftrightarrow m\ge1\)

Kết hợp cả ba TH \(\Rightarrow m\ge1\)

Vậy...

Đơn giản hơn:

\(t^2-\left(m+2\right)t+2m\ge0\) ; \(\forall t\in\left[-1;1\right]\)

\(\Leftrightarrow t\left(t-2\right)-m\left(t-2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-m\right)\left(t-2\right)\ge0\) (1)

Do \(t-2< 0\) ; \(\forall t\in\left[-1;1\right]\) nên (1) tương đương:

\(t-m\le0\)

\(\Leftrightarrow m\ge t\) ; \(\forall t\in\left[-1;1\right]\)

\(\Rightarrow m\ge1\)

1.

\(3cos2x-7=2m\)

\(\Leftrightarrow cos2x=\dfrac{2m-7}{3}\)

Phương trình đã cho có nghiệm khi:

\(-1\le\dfrac{2m-7}{3}\le1\)

\(\Leftrightarrow2\le m\le5\)

2.

\(2cos^2x-\sqrt{3}cosx=0\)

\(\Leftrightarrow cosx\left(2cosx-\sqrt{3}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=0\\cosx=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\\x=\pm\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Có 4 nghiệm \(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2};\dfrac{\pi}{6};\dfrac{11\pi}{6}\) thuộc đoạn \(\left[0;2\pi\right]\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)x\ge-2m-3\)

- Với \(m=-1\) thỏa mãn

- Với \(m>-1\Rightarrow x\ge\dfrac{-2m-3}{m+1}\)

\(\Rightarrow\dfrac{-2m-3}{m+1}\le-3\) \(\Leftrightarrow\dfrac{2m+3}{m+1}-3\ge0\Leftrightarrow\dfrac{-m}{m+1}\ge0\)

\(\Rightarrow-1< m\le0\Rightarrow m=0\)

- Với \(m< -1\Rightarrow x\le\dfrac{-2m-3}{m+1}\Rightarrow\dfrac{-2m-3}{m+1}\ge-1\)

\(\Rightarrow\dfrac{2m+3}{m+1}-1\le0\Leftrightarrow\dfrac{m+2}{m+1}\le0\)

\(\Rightarrow-2\le m< -1\Rightarrow m=-2\)

Vậy \(m=\left\{-2;-1;0\right\}\)

để hàm số xác định với mọi x thuộc R thì 

\(2m\cos^2x+\left(2-m\right)\cos x+4m-1\ge0\Leftrightarrow m\left(2cos^2x-cosx+4\right)\ge1-2cosx\)

mà \(2cos^2x-cosx+4>0\) nên :

\(m\ge\frac{1-2cosx}{2cos^2x-cosx+4}\)\(\Leftrightarrow\)\(m\ge max\left(\frac{1-2cosx}{2cos^2x-cosx+4}\right)=\frac{3}{7}\)

vậy điều kiện của m là : \(m\ge\frac{3}{7}\)